Vapaa kuvaus

tekniikan opiskelija Tampereelta, joka on aina valmis keskustelemaan elämästä ja elämää suuremmista kysymyksistä. Musiikkimaku menee lähinnä metallin puolelle, Children of Bodom ym. Myös (hyvä) konemusiikki uppoaa. Kotimaa: --- Koulutus: Yliopisto/korkeakoulu Ammatti: Opiskelija Siviilisääty: --- Lapset: Kyllä vielä joku päivä

Aloituksia

2

Kommenttia

17

  1. Heitä+se+huora+ulos!
  2. Matemaattisessa analyysissä ja luonnontieteissä yleisesti ollaan kiinnostuneita vain jatkuvista funktioista, sillä luonto yleisesti on jatkuva (luonnon prosesseissa tehdään yleensä jatkuvuusoletus, esim. energian ja aineen virtaus. Lisäksi fyysinen etäisyys on jatkuva suure ainakin Planckin mittakaavaan saakka).

    Funktion jatkuvuudelle on olemassa yksinkertainen määritelmä, ja monet funktiot sekä niiden summat, erotukset ja yhdisteet tiedetään jatkuviksi, esim. polynomit, eksponettifunktiot, sinifunktio jne.

    Kun reaaliarvoinen funktio määritellään jollakin välillä, niin tuo väli on mielekästä valita suljetuksi, sillä näin funktio myös saavuttaa arvonsa välin päätepisteissä, ja nuo arvot voivat hyvinkin olla ääriarvoja. Esim. aidosti monotoninen funktio ei saavuta minimiä tai maksimia avoimella välillä, mutta suljetulla se saavuttaa molemmat. Topologinen tulos on myös se, että jokainen jatkuva funktio saavuttaa ääriarvonsa suljetulla ja rajoitetulla välillä.

    Derivoituvuus taas on jatkuvan funktion lisäominaisuus, joka ilmaisee, että funktion kuvaaja (x, f(x)) on sileä käyrä, eikä siinä ole mitään "teräviä" kohtia. Derivaattaa voidaan soveltaa funktion ääriarvojen tarkasteluussa, mutta tämä tarkastelu voidaan tehdä VAIN avoimella välillä, sillä suljetun välin päätepisteessä toispuolista raja-arvoa ei ole määritelty. Derivoituvuus jossain pisteessä vaatii aina toispuolisten derivaattojen olemassaolon.

    Tärkein syy miksi aina hoetaan mantraa "tarkastellaan suljetulla välillä jatkuvaa ja avoimella välillä derivoituvaa funktiota..." on se, että silloin saadaan käyttöön Fermantin lause, jonka mukaan suljetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa ääriarvonsa 1.) välin päätepisteissä, tai 2.) derivaatan nollakohdissa tai 3.) pisteissä, joissa funktio ei ole derivoituva.