Olkoon d>0. Funktiolle f(x) piirretään pisteisiin x ja x-d tangentit. Millä x:n arvolla niiden välinen kulma on suurimmillaan? Kuvio: https://aijaa.com/y5YDrs
Tuossa esimerkkikuvassa oli f(x) = xe^x, mutta tehtäväksi voidaan asettaa
a) f(x) = e^x
b) f(x) = 1/3*x^3 x/5
Asetetaan b-kohdassa d=1.
Toinen tehtävä: Kun p(x) on toisen asteen polynomi ja sille piirretään kolmeen eri pisteeseen tangentit, niin näiden muodostama kolmio on alaltaan vakio. Todista tämä väite oikeaksi tai vääräksi.
Valokeilatehtävä
Anonyymi
11
76
Vastaukset
- Anonyymi
a) x=d/2
- Anonyymi
2) Valitaan yksi piste parabelin huipusta ja kaksi muuta pistettä symmetrisesti se vierestä. Saadaan tangenteista kolmio. Kun viereisiä pisteteitä siirretään siiretään lähemmäksi huippua niin tangenttien muodostaman kolmion ala menee nollaan. Varmaan tuon voi jollain laskuesimerkilläkin osoittaa.
- Anonyymi
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin joo, tokaan tehtävään semmoinen tarkennus, että siinä piti olla ne kahden muun pisteen x-koordinaattien etäisyydet keskimmäisestä annetut ja sitten ala on vakio (?) kun keskimmäistä liikutellaan.
Siis olkoon eräs piste (x0, p(x0) ja kaksi muuta (x0-d1, p(x0-d1)) sekä x0 d2, p(x0 d2)), missä d1 ja d2 ovat kiinteät positiiviset vakiot.Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuntuisi mutulla siltä, että ei ole se ala vakio, koska kaarevuussäde ei ole vakio. Ympyrällä olisi..
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Minä sain, että ala olisi aina 1/4*|d1|*|d2|*|d1-d2|, kun pisteiden x-koordinaatit ovat x0, x0 d1 ja x0 d2 (eli molemmissa lisätään dj, helpompi tehdä samalla tavalla).
https://www.desmos.com/calculator/6keklruk95
Tein laskun Sagella, koodi on tuolla mukana. Pidin kaikki parametrit symboolisina ja ratkaisin leikkauspisteet ja sitten laskin kolmion alan determinanttina niinkuin se nyt menee tai shoelace formulalla: https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formulaAi niin paitsi p:n johtavan kertoimen oletin jostain syystä ykköseksi, mutta näköjään alan kaava pitää vielä kertoa sen itseisarvolla, jos näin ei ole.
Koodissa a mukana: https://www.desmos.com/calculator/4ecpkk0xav
- Anonyymi
Toinen tehtävä: Kyllä se väite on oikea tai väärä.
- Anonyymi
f:n tangentin kulmakerroin pisteessä x on f'(x).
a)f(x) = e^x
F(x) = arctan(e^x) - arctan(e^(x-d))
On minimoitava F.
Saadaan yhtälö (1 - e^d) (1 - e^(2x-d)) = 0 josta x = d/2.
Oli d > 0 joten 1 - e^(-d) > 0
1 - e^(2x-d) < 0 kun x > d/2 ja 1 - e^(2x-d) > 0 kun x < d/2
joten kyseessä on maksimi.
b) f(x) = 1/3 x^3 x/5, d = 1.
F(x) = arctan(x^2 1/5) - arctan(x^2 - 2x 6/5)
d/dx(arctan(x)) =1/(1 x^2)
Siitä vaan ratkomaan. Kyllä W-A laskee!- Anonyymi
Pitin sanomani: on maksimoitava F. Ja senhän teinkin lähtien siitä että F'(x) = 0.
Vielä paremmin: etsitään F:n ääriarvot ja niistä maksimi jos löytyy. - Anonyymi
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3v - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Joo, b:stä tuli minun laskun mukaan x = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,306. Tai W-A:llahan minäkin taisin sen yhtälön sitten ratkaista :D
https://www.desmos.com/calculator/dewvfsmm3vW-A antaa tosiaan reaalijuuret x1 = 1/2 - sqrt(13/5)/2 = - 0,3062 ja x2 = 1/2 sqrt(13/5)/2 = 1,3062 yhtälölle F'(x) = 0.
Pistettä x1 ohitettaessa F:n merkki muuttuu : - -> , kyseessä minimi.
Pistettä x2 ihitettaessa F:n merkki muuttuu : -> - , kyseessä maksimi.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Epäily: Oppilas puukotti kolmea Pirkkalan koululla
Tämänhetkisen tiedon mukaan ainakin kolme oppilasta on loukkaantunut puukotuksessa Pirkkalan Vähäjärven koululla. Myös e3017654Jos yhdistät nimikirjaimet
Jos yhdistät sinun ja kaivattusi ensimmäisten nimien alkukirjaimet mitkä nimikirjaimet tulee? Sinun ensin ja sitten häne855979Jos olisit täällä
Tosin en tiiä miks oisit. (Ja hävettää muutenkin kun ei muka muulla tavoin osaa kertoa tätäkään) Jos jollain pienellä1673538Kyllä se taitaa olla nyt näin
Minusta tuntuu et joku lyö nyt kapuloita rattaisiin että meidän välit menisi lopullisesti. Sinä halusit että tämä menee321997Pirkkalan koulussa puukotus, oppilas puukotti kolmea
Ilmeisesti tyttöjä ollut kohteena.1921875Odotan että sanot
Sitten siinä että haluaisit vielä jutella kahdestaan kanssani ja sitten kerrot hellästi että sinulla on ollut vaikea san191698- 361579
- 441484
- 221431
Heih! Vieläkö ehtii laittaa auringonkukat kasvamaan?
Kerkeekö auringonkukat kukkimaan, kun upottaa auringonkukan siemenet kävelyreittien varrella multiin? Vai onko jo ihan651398