Opiskelen yliopistossa ja minua on viime aikoina alkanut kiinnostaa matematiikka sen verran, että saatan suorittaa approbaturin aiheesta.
Olen tiettyjä analyysin kursseja lueskellut netistä, mutta koska ne ovat kovin suppeasti kirjoitettuja niin muutamat asiat ovat minua jääneet vaivaamaan. Eli mikä erottaa supremumin ja infimumin jonkin joukon suurimmasta ja pienimmästä alkiosta? Luulen jotenkin asian käsittäneeni, mutta olisin kiitollinen jos joku sen vielä rautalangasta vääntäisi.
Toinen asia on se, että kuinkahan pitkälle ja mitä asioita tarvitsisi lukea ymmärtääkseen tämän Fermat'n suuren lauseen todistuksen, koska se on aika karmean näköistä hepreaa näin lukiomatikan pohjalta vilkaistuna?
Kiitoksia
fermat + muuta
Mursu_m
10
1019
Vastaukset
- suppilopää
"Eli mikä erottaa supremumin ja infimumin jonkin joukon suurimmasta ja pienimmästä alkiosta?"
supremum = pienin yläraja (jollainen reaaliluku määritelmän mukaan on olemassa jokaiselle epätyhjälle ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolle)
Jos joukolla on suurin alkio, niin se (luonnollisesti) kuuluu itse joukkoon (ja on tällöin myös joukon supremum). Epätyhjän ja rajoitetun joukon supremumin ei kuitenkaan tarvitse kuulua joukkoon. Lisäksi
epätyhjässä ylhäältä rajoitetussa reaalilukujoukossa ei välttämättä ole suurinta alkiota, mutta sillä on aina pienin yläraja (eli joukon supremum) reaalilukujen joukossa.
Esim joukko
A={0,1/2,3/4,5/6,...,(n-1)/n,...}.
Tämä on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu (esim 1 on joukon yläraja, koska kaikki x \in A x - jukepuke
Jokaisella joukolla on supremum ja infimum, mutta ei välttämättä suurinta ja pienintä alkiota. Yksinkertaisesti supremum on joukon ylärajoista pienin ja vastaavasti infimum on joukon alarajoista suurin.
Simppeleitä esimerkkejä:
Välillä [0,1] on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, jotka ovat myös joukon supremum ja infimum. Taasen avoimella välillä ]0,1[ ei ole suurinta, eikä pienintä alkiota, mutta supremum ja infimum löytyy, eli samat kuin edellisellä joukolla.
Puhutaan joukon maksimista ja minimistä, jotka ovat infimumin ja supremumin erikoistapauksia, sillä ne kuuluvat itse tarkasteltavaan joukkoon, mitä infimumilta ja supremumilta ei vaadita.
Enpä ole tarkemmin Fermat'n lauseen todistukseen tutustunut, mutta jostain jäi joskus päähän, että "tohtoristason" juttuja ne on, ts. aika paljon pitää matematiikkaa osata, jos aikoo täysin todistuksen ymmärtää. En usko, että maisteristason opinnoilla vielä kovin pitkälle pääsee... - xyz
Fermat'n suuren lauseen todistamisen ymmärtämiseen tarvitsee hyvin paljon matemaattista osaamista. Olen kuullut huhun, että Wilesin todistuksen pystyi varmistamaan oikeaksi vain muutama matemaatikko maailmassa. Todistuksen ymmärtämiseen sinun täytyy hallita lähes kaikki vuoteen 1997 tehty matematiikka algebrallisen geometrian osalta, erityisesti elliptisiä käyriä ja moduulimuotoja. Lisäksi todistus pitää sisällään ilmeisesti monia viittauksia 1990-luvulla kirjoitettuihin julkaisuihin, ja ainakin minulla modernin matematiikan omaksuminen vaatii paljon kärsivällisyyttä ja aikaa.
Veikkaisin, että tuhlaat vain aikaasi jos yrität omaksua kunnolla Wilesin todistuksen. Tietysti jos olet sitkeä ja pystyt omaksumaan modernia matematiikkaa nopeassa tahdissa, voit saada todistuksesta selkoa äärellisessä ajassa. Melko varmasti pystyisit kuitenkin samassa ajassa lukemaan paljon muuta matematiikkaa ja oppimaan asiat kunnolla.
Joka tapauksessa voit lukea todistuksen osoitteesta http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf- mursu_m
Aluksi kiitoksia kaikille vastanneille. Asia ymmärretty supremumin ja infimumin osalta.
Toisekseen en minä ole yrittämässä "omaksua" tätä herra Wilesin todistusta vaan lähinnä olen mielenkiinnolla lueskellut, että mitä mies on siinä puuhannut. Eli olen siis silmäillyt läpitse sen todistuksen. Lukemisesta ei varmaan silloin voi puhua, jos ei ymmärrä yhtikäs mitään lukemastaan :)
Tiedän sen mitä Wikipediasta ja muualta olen asiasta lukenut, että kaveri oli ilmeisesti todistanut tämän Taniyaman-Shimuran otaksuman puolivakaille elliptisille käyrille tai jotain sinne päin ja siinä samalla tämän Fermat'n suuren lauseen.
Sen olen myös ymmärtänyt, että juuri nämä moduulimuodot ja elliptiset käyrät ovat oleellinen osa tätä todistusta, mutta vaikka olen yrittänyt asiasta näin netin kautta lukea, niin törmään näissä aina sellaisiin asioihin, jotka pitäisi ymmärtää ennen kuin voisi ymmärtää jotain toista asiaa, joten nämä lopulliset mielenkiinnon kohteet jäävät vähän vielä pimentoon. Pitäisi varmaan istua vaan kiltisti sinne koulun penkille, ja katsoa miten pitkään pinna riittää. Tuolla meidän pakollisella matikan peruskurssilla ei vielä pitkälle pötkitä, vaikkakin asiasisällöltään onkin muille paitsi kansantaloustieteilijöille aivan liian laaja.
Enkä jaksa ymmärtää mitä tekemistä näillä elliptisillä käppyröillä on sen Fermat'n lauseen todistuksen kanssa :) - xyz
mursu_m kirjoitti:
Aluksi kiitoksia kaikille vastanneille. Asia ymmärretty supremumin ja infimumin osalta.
Toisekseen en minä ole yrittämässä "omaksua" tätä herra Wilesin todistusta vaan lähinnä olen mielenkiinnolla lueskellut, että mitä mies on siinä puuhannut. Eli olen siis silmäillyt läpitse sen todistuksen. Lukemisesta ei varmaan silloin voi puhua, jos ei ymmärrä yhtikäs mitään lukemastaan :)
Tiedän sen mitä Wikipediasta ja muualta olen asiasta lukenut, että kaveri oli ilmeisesti todistanut tämän Taniyaman-Shimuran otaksuman puolivakaille elliptisille käyrille tai jotain sinne päin ja siinä samalla tämän Fermat'n suuren lauseen.
Sen olen myös ymmärtänyt, että juuri nämä moduulimuodot ja elliptiset käyrät ovat oleellinen osa tätä todistusta, mutta vaikka olen yrittänyt asiasta näin netin kautta lukea, niin törmään näissä aina sellaisiin asioihin, jotka pitäisi ymmärtää ennen kuin voisi ymmärtää jotain toista asiaa, joten nämä lopulliset mielenkiinnon kohteet jäävät vähän vielä pimentoon. Pitäisi varmaan istua vaan kiltisti sinne koulun penkille, ja katsoa miten pitkään pinna riittää. Tuolla meidän pakollisella matikan peruskurssilla ei vielä pitkälle pötkitä, vaikkakin asiasisällöltään onkin muille paitsi kansantaloustieteilijöille aivan liian laaja.
Enkä jaksa ymmärtää mitä tekemistä näillä elliptisillä käppyröillä on sen Fermat'n lauseen todistuksen kanssa :)"vaikka olen yrittänyt asiasta näin netin kautta lukea, niin törmään näissä aina sellaisiin asioihin, jotka pitäisi ymmärtää ennen kuin voisi ymmärtää jotain toista asiaa"
Täysin normaalia, niin käy minullekin päivittäin. Siihen ei auta kuin asioiden miettiminen ja julkaisujen/oppikirjojen lukeminen.
"Enkä jaksa ymmärtää mitä tekemistä näillä elliptisillä käppyröillä on sen Fermat'n lauseen todistuksen kanssa :) "
Elliptiset käyrät ovat käteviä Diofantoksen yhtälöiden ratkaisemisessa. Monia Diofantoksen yhtälöitä voidaan muuttaa elliptisiksi käyriksi, joiden rationaalipisteitä on helpompi tarkastella kuin alkuperäistä yhtälöä.
Tämä oli myös Gerfard Freyn lähtökohta. Hän osoitti, että jos Fermat'n suuri lause x^n y^n=z^n on tosi, on elliptisellä käyrällä t^2=w^3 (x^n-y^n)w^2-x^n y^n kummallisi ominaisuuksia. Jopa niin kummallisia, että sitä ei kenties ole olemassa.
Nyt Ken Ribet tutki yhteyttä Taniyaman-Shimuran otaksuman ja Fermat'n suuren lauseen välillä. Hänellä oli ratkaisu lähes tehtynä, mutta jotain puuttui. Hän kertoi asiasta Barry Mazurille, joka kuitenkin keksi tuon puuttuvan palan ns. gamma-nolla rakenteen avulla.
OK. Nyt siis tiedettiin, että jos Taniyaman-Shimuran lause ei päde elliptisille elliptisille käyrille, se ei päde Freyn käyrälle. Toisaalta jos Freyn käyrä ei ole modulaarinen, ei sitä vastaavalla Diofantoksen yhtälöllä ole kokonaislukuratkaisuja. Mutta tämä on juuri Fermat'n suuri lause.
Nyt Andrew Wilesin hoksasi, että hän voisi todistaa Fermat'n lauseen Taniyaman-Shimuran otaksuman avulla. Hänen piti todistaa siis jokainen elliptinen käyrä modulaariseksi. Hän pohti sitä seitsemän vuotta kunnes löysi todistuksen. Hän osoitti muun muassa, että hänen riittä todistaa Taniyaman-Shimuran otaksuma puolivakaille elliptisille käyrille. Mutta näitähän on äärettömän monta erilaista. Mikä avuksi?
Hän alkoi tutkimaan otaksumaa ns. Iwasawan teorian avulla. En tunne teoriaa vielä kovinkaan hyvin, joten en osaa kertoa siitä. Kuitenkaan tämä lähestymistapa ei tuottanut toivottua tulosta. Niinpä hän alkoi luokitella elliptisiä käyriä erilausin tavoin. Näitä tietyn tyyppisiä käyriä hän onnistuikin osoittamaan modulaarisiksi. Kuitenkin eräitä käyriä hän ei saanut ratkaistuksi. Niinpä hän kertoikin edistyksestään Ribetille ja Nick Katzille. He koittivat net kolmistaan ratkoa ongelmaa.
Lopulta, kuin kohtalon ivaa, Wiles keksi, että käyttämällä Iwasawan teoriaa hän pystyi muuntamaan jäljellä olevat hankalat käyrät toisiksi elliptisiksi käyriksi. Nämä hän oli jo todistanut modulaarisiksi, joten Fermat'n lause oli todistettu!
Harmi, että en osaa kertoa yksityiskohtaisemmin todistuksen hienoja oivalluksia. En osaa nimittäin paljoakaan algebrallista geometriaa. Täytyypä alkaa tutustumaan paremmin Iwasawan teoriaan ja muuhun asiaan liittyvään matematiikkaan, jotta voisin kertoa tarkemmin.
Mutta jos todistuksen ymmärtäminen kiinnostaa, lue ihmeessä algebrallista geometriaa koskevia julkaisuja. Tai voit vaikka lähettää Ribetille tai Wilesille sähköpostia (ainakin Ribetin sähköpostiosoite löytyy netistä) jos jokin kohta todistuksessa tuntuu hankalalta. Itse olen saanut joskus apua omiin ongelmiin lähettämällä ihan tuntemattomille sähköpostia, jos tiedän hänen tutkivan ongelmaa sivuavaa matematiikkaa.
- Anonyymi
Nyt on alettu tutkimaan, voisiko tietokoneella teoreemantodistajilla kehittää ymmärrettävämpi todistus.
- Anonyymi
Itse harrastusmielessä tein induktiolla Fermat'n lauseen todistusraakileen. Kyllä sen silläkin sai alkeellisesti todistettua, koska oma taakka ei ollut se, että olisin lukenut liian abstraktia todistelua ja Fermat'n lauseeseen liittyvää aiempaa kirjallisuutta, jonka ymmärtäminen vaatii tosiaan jatko-opintotasoisia taitoja lukea matematiikan artikkeleita.
Oma induktiolla tehty raakiletodistus tosin oli neljä sivua pitkä. Enpä ole sitä näyttänyt omille professoreilleni näin perustutkinto-opiskelijana, joten on vaikeaa omaa raakiletodistusta arvioida itsekseen.
Ehkä omasta virityksestä saisi myöhemmin yhden julkaisun aikaan osana Wilesin todistuksen fotmalisointia?
Kaikki matemaatikot toki tavoittelevat Fieldsin mitalia ja Millenium -tasoisten ongelmien ratkaisemista. Eräs professori sanoikin hyvin osuvasti, että usein yksinkertainen ratkaisu onkin toimivampi kuin abstrakti ja monimutkainen ratkaisupyrkimys. Näitä monimutkaisempia ratkaisuja kun ei välttämättä ymmärrä kuin kymmenen ihmistä maailmassa.
Itse pallottelen erinäisiä yksinkertaistuksia Riemanniin. Juurikin em professorin ajatuksia mukaillen. Tosin oeliteoreettista mallinnusta yhteiskuntatieteellisiin sovelluksiin pyrin jopa monimutkaistamaan. Tasapaino-käsite kun oman intuition kautta sovelluksissa on aivan liian yksinkertainen antaakseen reaalimaailman tilanteelle kuin rautalankamallin.- Anonyymi
Eikä erikoiselta tuntuu, että sen voisi todistaa neljällä sivulla. Toisaalta jos viittaat tunnettuihin koviin teorioihin, niin kai se on mahdollista. Koettaisin ehkä itse katsoa todistusta huolella ja kokeilla kiinnittää joitain muuttujia, jolloin olisi helpompaa nähdä, toimiiko todistus.
- Anonyymi
Lukiomatikan tarkoitus ei olekaan tuottaa matemaatikoita, vaan lähinnä opettaa perusrutiinit esim insinööritieteisiin ja joku raja-arvon perusymmärtys ja toisaalta antaa tilastotieteen perusteet, jotta kaikki yliopistossa osaisivat gradunsa kvantitatiivisista analyysistä edes perusteet.
- Anonyymi
Kts. ketjua "Fermat'n lauseen todistus".
Kovin vähäisillä tiedoilla tuo todistus ei auenne. Ei ainakaan approbatur-kursssin tiedoilla.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 467465
- 324108
- 573635
- 503150
- 172826
Voi ei! Jari Sillanpää heitti keikan Helsingissä - Hämmästyttävä hetki lavalla...
Ex-tangokuningas on parhaillaan konserttikiertueella. Hän esiintyi Savoy teatterissa äitienpäivänä. Sillanpää jakoi kons522386- 532327
- 432278
- 372268
- 162256