Helppoa rahaa matematiikalla!

Eipä tuossa kauheasti IT:tä tai robotteja mainittu...

Anonyymi kirjoitti:

Eipä tuossa kauheasti IT:tä tai robotteja mainittu...

Kaikki tietokoneiden 3D-grafiikat ja robottien pallonivelten ohjaus perustuu kvaternioihin.

Anonyymi kirjoitti:

Kaikki tietokoneiden 3D-grafiikat ja robottien pallonivelten ohjaus perustuu kvaternioihin.

Tietokoneet ymmärtää matriisilaskentaa, erityisesti rotaatiomatriiseita tässä tapauksessa. Tuon monisteen ansiona on lukiolaiselle suunnattu tietoisku korkeampiulotteisista (geometrisista) algebroista. Itse olisin tehnyt toisenlaisen esityksen, esim. sekä kompleksiluvut että kvaterniot olisi voinut esittää matriisialgebran avulla.

Mutta on erittäin rohkaisevaa, että tällaisiin projekteihin myönnetään apurahoja. Nyt vain kaikki halukkaat osaajat ideoimaan omia tuotoksia, sillä erityisesti matematiikka on loputon lähde eikä kirjoittamisen aloittaminen ole niin vaikeaa kuin kaunokirjallisuudessa!

Matematiikkalehti Solmu on julkaissut laadukastakin materiaalia, ja oletettavasti myös niiden laatimiseen on myönnetty apurahoja:
https://matematiikkalehtisolmu.fi/oppimateriaalit.html

No eihän tuon monisteen ole edes tarkoitus olla mikään syvällinen, se kun on suunnattu lukiolaisille. Esitys on kyllä turhan algebrallinen ja perinteinen, jos tavoitteena on ollut esittää kvaternien geometrisia ominaisuuksia. Ehkäpä - joskaan en väitä - tuossa on käynyt samalla tavalla kuin monen muun kirjallisen tuotoksen kohdalla: apurahat menee ensin kurkusta alas ja sitten rustataan pää kipeänä jonkinlainen tuotos kasaan.

Muutamia huomioita korkeampiulotteisista algebroista:

- Jos reaalilukujen kertolaskua haluaa jostain syystä tarkastella geometrisesti, niin lineaarisilla luvuilla on kaksi suuntaa ja kertominen luvulla -1 vastaa 180-asteen kiertoa.

- Tasossa kierto on lineaarikuvaus, eli 2x2-matriisi [cos(x), -sin(x); sin(x), cos(x)]. Jos kaksiulotteinen kompleksiluku (a, b) määritellään 2x2-matriisina [a, -b; a, b], niin kompleksitulo vastaa kahden matriisin kertolaskua eikä imaginaariyksikössä ole enää mitään ihmeellistä, esim. tulo (0, 1)*(0, 1) = (-1, 0) vastaa tuloa [0, -1; 0, 1]*[0, -1; 0, 1] = [-1, 0; -1, 0]. Geometrinen kertolasku on siis kierto ja skaalaus.

- Kompleksilukujen kertolasku kommutoi, koska tasossa kierto vastaa kellon viisareiden kääntelyä, jolloin järjestyksellä ei ole väliä.

- Eulerin kaavan voi johtaa, kun huomaa että funktion [cos(x) i*sin(x)]e^(-ix) derivaatta on aina nolla, eli kyseessä on vakiofunktio.

- Jos intoa riittää, niin kvaternit voi määritellä avaruuden kiertomatriisien avulla. Vaihtoehtoisesti (skalaari, vektori)-muotoisten kvaternien algebran voi määritellä kertolaskun avulla, eli (a, A)*(b, B) = (ab - A*B, AxB aB bA), missä (*) ja (x) ovat kolmiulotteisten vektoreiden sisä- ja ristitulo.

- Kvaternien kertolasku ei yleisesti kommutoi ja se taas seuraa siitä, etteivät kolmiulotteiset kierrot kommutoi: jos esim. kirjaa kääntää ensin lattiatason mukaisesti 90-astetta ja sitten seinätason mukaisesti 180-astetta, niin loppuasento on erilainen kuin jos kierrot vaihtaisivat järjestystä.

- Jos lukualueiden laajentamista haluaa tarkastella (epägeometrisesti) algebrallisten yhtälöiden ratkeavuuden kautta, niin on syytä huomioida, ettei algebran peruslause päde kvaterneille: yhtälöllä i*q - q*i 1 = 0 ei selvästikään ole ratkaisua kvaternien joukossa. Tällöin lukualuetta laajennetaan ns. Cayleyn–Dicksonin konstruktion mukaisesti.

Anonyymi kirjoitti:

No eihän tuon monisteen ole edes tarkoitus olla mikään syvällinen, se kun on suunnattu lukiolaisille. Esitys on kyllä turhan algebrallinen ja perinteinen, jos tavoitteena on ollut esittää kvaternien geometrisia ominaisuuksia. Ehkäpä - joskaan en väitä - tuossa on käynyt samalla tavalla kuin monen muun kirjallisen tuotoksen kohdalla: apurahat menee ensin kurkusta alas ja sitten rustataan pää kipeänä jonkinlainen tuotos kasaan.

Muutamia huomioita korkeampiulotteisista algebroista:

- Jos reaalilukujen kertolaskua haluaa jostain syystä tarkastella geometrisesti, niin lineaarisilla luvuilla on kaksi suuntaa ja kertominen luvulla -1 vastaa 180-asteen kiertoa.

- Tasossa kierto on lineaarikuvaus, eli 2x2-matriisi [cos(x), -sin(x); sin(x), cos(x)]. Jos kaksiulotteinen kompleksiluku (a, b) määritellään 2x2-matriisina [a, -b; a, b], niin kompleksitulo vastaa kahden matriisin kertolaskua eikä imaginaariyksikössä ole enää mitään ihmeellistä, esim. tulo (0, 1)*(0, 1) = (-1, 0) vastaa tuloa [0, -1; 0, 1]*[0, -1; 0, 1] = [-1, 0; -1, 0]. Geometrinen kertolasku on siis kierto ja skaalaus.

- Kompleksilukujen kertolasku kommutoi, koska tasossa kierto vastaa kellon viisareiden kääntelyä, jolloin järjestyksellä ei ole väliä.

- Eulerin kaavan voi johtaa, kun huomaa että funktion [cos(x) i*sin(x)]e^(-ix) derivaatta on aina nolla, eli kyseessä on vakiofunktio.

- Jos intoa riittää, niin kvaternit voi määritellä avaruuden kiertomatriisien avulla. Vaihtoehtoisesti (skalaari, vektori)-muotoisten kvaternien algebran voi määritellä kertolaskun avulla, eli (a, A)*(b, B) = (ab - A*B, AxB aB bA), missä (*) ja (x) ovat kolmiulotteisten vektoreiden sisä- ja ristitulo.

- Kvaternien kertolasku ei yleisesti kommutoi ja se taas seuraa siitä, etteivät kolmiulotteiset kierrot kommutoi: jos esim. kirjaa kääntää ensin lattiatason mukaisesti 90-astetta ja sitten seinätason mukaisesti 180-astetta, niin loppuasento on erilainen kuin jos kierrot vaihtaisivat järjestystä.

- Jos lukualueiden laajentamista haluaa tarkastella (epägeometrisesti) algebrallisten yhtälöiden ratkeavuuden kautta, niin on syytä huomioida, ettei algebran peruslause päde kvaterneille: yhtälöllä i*q - q*i 1 = 0 ei selvästikään ole ratkaisua kvaternien joukossa. Tällöin lukualuetta laajennetaan ns. Cayleyn–Dicksonin konstruktion mukaisesti.

Lue lisää

Tuo on tyylikäs tapa johdatella kompleksilukuihin, mutta Eulerin kaavaa ei oikein saa helposti ravisteltua hihasta. Kompleksinen derivaatta on syvällisempi asia kuin jokin algebrallinen pyöritys ja toisaalta pitäisi tietää yhtäsuuruus e^(x iy) = e^(x)e^(iy). Kyseinen yhtäsuuruus todistetaan luvun e sarjaesityksen kautta ja todistuksessa tarvitaan sarjan itseisen suppenemisen lausetta.

Jos taas jättää syvällisemän Eulerin kaavan pois ja käyttää yksinkertaista de Moivren kaavaa, niin kompleksialgebraa voidaan kuvailla matriisien avulla ilman sen kummempia reaalianalyysin tuloksia.

Anonyymi kirjoitti:

No eihän tuon monisteen ole edes tarkoitus olla mikään syvällinen, se kun on suunnattu lukiolaisille. Esitys on kyllä turhan algebrallinen ja perinteinen, jos tavoitteena on ollut esittää kvaternien geometrisia ominaisuuksia. Ehkäpä - joskaan en väitä - tuossa on käynyt samalla tavalla kuin monen muun kirjallisen tuotoksen kohdalla: apurahat menee ensin kurkusta alas ja sitten rustataan pää kipeänä jonkinlainen tuotos kasaan.

Muutamia huomioita korkeampiulotteisista algebroista:

- Jos reaalilukujen kertolaskua haluaa jostain syystä tarkastella geometrisesti, niin lineaarisilla luvuilla on kaksi suuntaa ja kertominen luvulla -1 vastaa 180-asteen kiertoa.

- Tasossa kierto on lineaarikuvaus, eli 2x2-matriisi [cos(x), -sin(x); sin(x), cos(x)]. Jos kaksiulotteinen kompleksiluku (a, b) määritellään 2x2-matriisina [a, -b; a, b], niin kompleksitulo vastaa kahden matriisin kertolaskua eikä imaginaariyksikössä ole enää mitään ihmeellistä, esim. tulo (0, 1)*(0, 1) = (-1, 0) vastaa tuloa [0, -1; 0, 1]*[0, -1; 0, 1] = [-1, 0; -1, 0]. Geometrinen kertolasku on siis kierto ja skaalaus.

- Kompleksilukujen kertolasku kommutoi, koska tasossa kierto vastaa kellon viisareiden kääntelyä, jolloin järjestyksellä ei ole väliä.

- Eulerin kaavan voi johtaa, kun huomaa että funktion [cos(x) i*sin(x)]e^(-ix) derivaatta on aina nolla, eli kyseessä on vakiofunktio.

- Jos intoa riittää, niin kvaternit voi määritellä avaruuden kiertomatriisien avulla. Vaihtoehtoisesti (skalaari, vektori)-muotoisten kvaternien algebran voi määritellä kertolaskun avulla, eli (a, A)*(b, B) = (ab - A*B, AxB aB bA), missä (*) ja (x) ovat kolmiulotteisten vektoreiden sisä- ja ristitulo.

- Kvaternien kertolasku ei yleisesti kommutoi ja se taas seuraa siitä, etteivät kolmiulotteiset kierrot kommutoi: jos esim. kirjaa kääntää ensin lattiatason mukaisesti 90-astetta ja sitten seinätason mukaisesti 180-astetta, niin loppuasento on erilainen kuin jos kierrot vaihtaisivat järjestystä.

- Jos lukualueiden laajentamista haluaa tarkastella (epägeometrisesti) algebrallisten yhtälöiden ratkeavuuden kautta, niin on syytä huomioida, ettei algebran peruslause päde kvaterneille: yhtälöllä i*q - q*i 1 = 0 ei selvästikään ole ratkaisua kvaternien joukossa. Tällöin lukualuetta laajennetaan ns. Cayleyn–Dicksonin konstruktion mukaisesti.

Lue lisää

Jos olet noin taitava geometristen algebroiden osaaja, niin mikset tee omaa opetusmonistetta?

Ei juuri mikään yritys palkkaa ketään matemaatikoksi. Matemaatikot työllistyvät sivuaineidensa perusteella esimerkiksi tutkijoiksi, analyytikoiksi, ohjelmoijiksi, neuvonantajiksi, jne.

Jos keikkahommista on kiinnostunut, niin yksi hyvä vaihtoehto on IT-ala. Freelancereillekin on siellä kysyntää, ja matemaatikoilla on aika luonnollinen etulyöntiasema. Jos yritys tarvitsee pelkän koodinkirjoittajan, se palkkaa amiksen tai ulkoistaa Intiaan. Jos yritys tarvitsee jonkun, joka osaa sekä suunnitella että toteuttaa algoritmin itsenäisesti, se palkkaa matemaatikon.

Anonyymi kirjoitti:

Ei juuri mikään yritys palkkaa ketään matemaatikoksi. Matemaatikot työllistyvät sivuaineidensa perusteella esimerkiksi tutkijoiksi, analyytikoiksi, ohjelmoijiksi, neuvonantajiksi, jne.

Jos keikkahommista on kiinnostunut, niin yksi hyvä vaihtoehto on IT-ala. Freelancereillekin on siellä kysyntää, ja matemaatikoilla on aika luonnollinen etulyöntiasema. Jos yritys tarvitsee pelkän koodinkirjoittajan, se palkkaa amiksen tai ulkoistaa Intiaan. Jos yritys tarvitsee jonkun, joka osaa sekä suunnitella että toteuttaa algoritmin itsenäisesti, se palkkaa matemaatikon.

Lue lisää

Et selvästikään ole koskaan opiskellut matematiikkaa etkä suomen kieltä.

Maailman rahakkaat yliopistot ainakin tarjovat keikkahommia vastaväittäjille ja erilaisten tutkielmien tarkastajiksi.

Anonyymi kirjoitti:

Et selvästikään ole koskaan opiskellut matematiikkaa etkä suomen kieltä.

Maailman rahakkaat yliopistot ainakin tarjovat keikkahommia vastaväittäjille ja erilaisten tutkielmien tarkastajiksi.

Lue lisää

Puhe oli yrityksistä. Akateeminen ura on asia erikseen.

Ja kiitos kysymästä, olen opiskellut matematiikkaa, ja työllistynyt sivuaineiden (tilastotiede ja tietotekniikka) kautta IT-alalle sovelluskehittäjäksi.