Ei onnistune ihan lukion eikä yliopiston matematiikan peruskurssien tiedoilla, ellei ole poikkeuksellisen lahjakas tai kekseliäs.
a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja.
a^3 = 3b(b-1) + 4
Ihan päässälaskuna saa ensimmäisen ratkaisun (a=4, b=5), mutta mikä on seuraava ratkaisu?
Heti nähdään, että a:n on oltava parillinen luku ja b:n on oltava aina suurempi kuin a.
Voidaan helposti muodostaa ääretön määrä muitakin yksinkertaisia rajoitteita. Esim. b eikä b-1 ei saa olla jaollinen luvulla 7 eikä a saa olla jaollinen luvulla 13.
Muodostakaa mahdollisimman tehokkaita rajoitteita a:n ja b:n arvoille.
Miten muodostaa kokonaisluvun kuutio yksinkertaisesta lausekkeesta? Eittäin vaikea!
Anonyymi-ap
15
274
Vastaukset
- Anonyymi
Kokonaisluvun kuution pystyy muodostamaan aivan helposti.
Näin se menee;
Olkoon kokonaisluku a. Sen kuutio on a^3. - Anonyymi
"Heti nähdään, että a:n on oltava parillinen luku ja b:n on oltava aina suurempi kuin a"
Et pysty lisäämäättä rajoitteita osoittamaan, että b:n on oltava suurempi kuin a. Väite kun ei pidä paikkaansa.- Anonyymi
Korjaan. Siellä olikin rajoitteena, että niiden ol oltavva positiivisia. Pahoittelen huolimattomuuttani.
- Anonyymi
b eikä b-1 ei voi koskaan olla jaollinen kolmella, sillä a^3-4 ei ole millään a:n arvolla koskaan jaollinen 9:llä. Siis:
b = 2 + n*3 (n = 1,2,3,...)
Samoin b eikä b-1 ei voi koskaan olla jaollinen 8:lla, sillä a^3-4 ei ole millään a:n arvolla koskaan jaollinen 8:lla.
Jos ottaa yhtälön molemmista puolista modulo 2*27, niin saadaan lisää rajoitteita:
a = 4 + m*18 (m = 1,2,3,...) - Anonyymi
Yleensä tuollaisissa ongelmissa on vain 1-2 vastausta pienillä luvuilla.
- Anonyymi
Ja yleensä kukaan ei ole koskaan lähtenyt hakemaan ratkaisuja oikeasti isoilla luvuilla. Vie liikaa aikaa.
Nyt kyse on erittäin tunnetusta ongelmasta, eikä kukaan ole vielä pystynyt esittämään, ettei muitakin ratkaisuja oli jopa ääretöntä määrää.
Rajoitteet saadaan helposti yli miljarditasoille. Ja sitten biljoonatasolle.
Cubic reciprocity:llä saadaan:
b = 5 ＋ n*9 (n = 1,2,3,...) ja
a = 4 ＋ m*162 (m = 1,2,3,...)
Ja jos ottaa suodattavaan moduloon kolmosten lisäksi myös 7:n ja 8:n (2^3*3^4*7 = 4536), niin
b = {5, 68, 437, 500} ＋ n*504
a = {4, 652, 814} ＋ m*1134
Jatkakaa suodattamista ottamalla mukaan moduloon 5, 11, ja 13.
- Anonyymi
Kertomalla annetun yhtälön molemmat puolet 4:llä, sen saa muokattua neliön muodostamiseksi:
(4a^3-13)/3 = (2b-1)^2
Neliöinti on aina helpompaa ja mahdollisia a:n arvoja on biljoonia ( tai triljoonia) kertoja vähemmän kuin b:n arvoja. Molemmat puolet ovat aina varmasti jaollisia 81:llä (sallituilla a:n ja b:n arvoilla).- Anonyymi
Koska b:n mahdollisia arvoja on valtavasti, ei niitä kannata hirveästi lähteä edes karsimaan. Pelkkää ajan tuhlausta.
Alkuperäisestä yhtälöstä (a^3 - 4 = 3b(b-1)) näkee heti, ettei b eikä b-1 voi olla jaollinen millään 7＋k*6-alkuluvulla, joka ei ole (a^3 - 4):n cubic root modulo prime. Niitä on triljoonittain. [7, 13, 19, 37, 61, 67, 73, 79, 97, 103, ...] Niillä saisi karsittua isojen b:n arvojen tiheyden alle tuhannesosaan, mutta karsinta ei onnistu millään modulaarisella tavalla. Ei voi siis käytännössä mitenkään hyödyntää.
Kannattaa keskittyä vain neliöimään lauseke (4a^3-13)/3 eri tavoin karsituilla a:n arvoilla. Neliöstä voi suoraan laskea b:n arvon.
- Anonyymi
Mitähän mielenkiintoista tällaisessa tehtävässä on.? Vastaaviahan voi helposti kehitellä vaikka kuinka paljon.
Kuka näitä viitsii ratkoa? Miksi?- Anonyymi
Kyse on vaikeasta matematiikasta, jota sinä et ole ikinä opiskellut. Tiedät kyllä mikset.
Et itse ikinä pysty kehittämään mitään vaikeaa tehtävää. Ei ole helppoa. Kokeile. Ei onnistu sinulta ikinä. Täysin mahdotonta. Helppo todistaa!
Vastaava helppo kaikille lukiolaisille:
a^3 = 3b(b-1) ＋58
(Neliölauseke on (4a^3-229)/3 = (2b-1)^2)
Kaksi helppoa ratkaisua. Isommassakin b on alle miljardin ja a satoja kertoja pienempi. Aikaa kuluu Pypyllä alle sekunnin vaikka laskisi ilman optimointeja. Pitää tietysti hiukan tietää, mitä tekee. Hyvää matematiikan perusteiden harjoitusta kokonaisluvuilla. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kyse on vaikeasta matematiikasta, jota sinä et ole ikinä opiskellut. Tiedät kyllä mikset.
Et itse ikinä pysty kehittämään mitään vaikeaa tehtävää. Ei ole helppoa. Kokeile. Ei onnistu sinulta ikinä. Täysin mahdotonta. Helppo todistaa!
Vastaava helppo kaikille lukiolaisille:
a^3 = 3b(b-1) ＋58
(Neliölauseke on (4a^3-229)/3 = (2b-1)^2)
Kaksi helppoa ratkaisua. Isommassakin b on alle miljardin ja a satoja kertoja pienempi. Aikaa kuluu Pypyllä alle sekunnin vaikka laskisi ilman optimointeja. Pitää tietysti hiukan tietää, mitä tekee. Hyvää matematiikan perusteiden harjoitusta kokonaisluvuilla.Otetaan mitkä tahansa esim.viisi positiivista kokonaislukua. Muodostetaan niistä lauseke käyttämällä yhteen-, vähennys-,kerto- ja jakolaskuja (potenssiin korotus ml.). Lasketaan tulos. Sitten korvataan näistä valituista luvuista kaksi muuttujilla a ja b. Siinä sinulla on nyt tehtävä, jota saat hyvässä lykyssä miettiä aika kauan, jos nyt ratkeaa ollenkaan.
- Anonyymi
Jos määrittelee
X = (12a)^3
Y = 72b ＋ 36
niin annetusta kaavasta saa muodostettua elliptisen käyrän yhtälön
Y^2 = X^3 - 5616.
Sitten pitää vain löytää sopivat elliptisen yhtälön toteuttavat kokonaislukupisteet.
Annettu tehtävä on vain yksi kaikein helpoin erikoistapaus tunnetusta paljon isommasta ongelmasta.
Sadat huippumatemaatikot tutkivat eri menetelmiä ratkaista näitä ja muita vastaavia tehtäviä. Heiltäkin sopivan tavan löytäminen onnistuu useimmiten vain, jos tietää ensin jollakin muulla tavalla saadun ratkaisun. Ala kehittyy koko ajan. Vaatii aina valtavasti laskentaa ja syvällistä osaamista eri aloilta. Ei ole mahdotonta.- Anonyymi
X:n määrittelystä pitää poista potenssi 3. Eli
X = 12a
Testasin tunnetuilla arvoilla, eivätkä ne tietysti toimineet. Ei ole matemaatikkojen työ helppoa, jos huippumatemaatikkojen tarkistetuissa julkaisuissa on painovirheitä. - Anonyymi
Kyse on Mordellin käyristä. Niiden kokonaislukuratkaisuja on taulukoitu miljoonittain.
https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell_curve
Yhtälöllä
Y^2 = X^3 - 5616
on todistettavasti vain kaksi kokonaislukuratkaisua. Isompia ratkaisuja voi yrittää hakea toinen toistaan tehokkaimmilla ja nerokkaimmilla tavoilla loputtomasti. Niitä ei kuitenkaan löydy ikinä.
https://web.archive.org/web/20160529094946/http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/MORDELL-
Jokaisen kokonaislukulaskuja harrastavien kannattaa perehtyä elliptisiin käyriin. Viisaat matemaatikot ovat laskeneet niiden avulla valmiiksi valtavasti eri tapauksia, joita voi soveltaa eri tehtäviin sopivilla muunnoksilla. Ja lisää tulee koko ajan loputtomasti.
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 743022
- 712901
- 681842
Tykkään susta
Elämäni loppuun asti. Olet niin suuresti siihen vaikuttanut. Tykkäsit tai et siitä171709- 241667
- 261642
- 201620
- 481307
- 381283
Onko meillä
Molemmilla nyt hyvät fiilikset😢ei ainakaan mulla mutta eteenpäin on mentävä😏ikävä on, kait se helpottaa ajan myötä. Ko91279