Vaikea tehtävä: kappaleen tilavuus

Anonyymi

Kappaleen pohja on ympyrä x^2 y^2=4. Jokainen kappaleen
-akselia vastaan kohtisuora tasoleikkaus on tasasivuinen kolmio. Mikä on kappaleen tilavuus?

Tuommoinen tuli vastaan, enkä omin voimin ole keksinyt, kuinka ratkeaa. Ympyrän keskipiste on origo ja säde kaksi, mutta en hahmota, vaikka yritin piirtää kappaletta. Jokin integroitava tilavuuden lauseke tuosta tulee. Ehkä määrätyllä välillä [-2, 2]?

25

818

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Kyse on tasasivuisen kolmion pyörähdyskappaleesta (pyörimisakselina kolmion korkeusjanan suuntainen suora) joten tilavuus on pohjan pinta-ala kertaa korkeus jaettuna kolmella.

    • Anonyymi

      Jos kappaleen pohja on ympyrä niin ei siitä tasasivuista kolmiota tehdä millään akselia vastaan kohtisuoralla leikkauksella.

    • Anonyymi

      Sen tasasivuisen kolmion kanta on 2*sqrt(R^2-x^2), (R=2)
      Sen ala= ½*(kanta^2)*sin60 . Tuo sit integroidaan -2...2

    • Anonyymi

      Akseli on fysiikassa ja matematiikassa kuviteltu suora, jonka ympäri kappale pyörähtää tai jonka suhteen kappaleen osat sijaitsevat symmetrisesti. Joten vaikea kuvitella kappaletta, jonka pohja on ympyrä ja akselin kohtisuora leikkaus kolmio.

      • Anonyymi

        Kirjoitusvirheestä huolimatta lienee itsestään selvää, mitä aloittaja tarkoitti. Jotta tehtävänannossa olisi mitään järkeä, siinä tarkoitetaan mitä tahansa pohjatason kanssa kohtisuoraa tasoa. Millään muulla tulkinnalla tuollaista kappaletta ei ole olemassakaan.

        Jos esimerkiksi matematiikan kokeessa jätät vastaamatta virheelliseen tehtävänantoon, siitä ei rangaista, mutta jos kuitenkin osaat tulkita tehtävän kuten sen pitäisi olla, ja ratkaiset sen oikein, se lasketaan lisäpisteiksi.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kirjoitusvirheestä huolimatta lienee itsestään selvää, mitä aloittaja tarkoitti. Jotta tehtävänannossa olisi mitään järkeä, siinä tarkoitetaan mitä tahansa pohjatason kanssa kohtisuoraa tasoa. Millään muulla tulkinnalla tuollaista kappaletta ei ole olemassakaan.

        Jos esimerkiksi matematiikan kokeessa jätät vastaamatta virheelliseen tehtävänantoon, siitä ei rangaista, mutta jos kuitenkin osaat tulkita tehtävän kuten sen pitäisi olla, ja ratkaiset sen oikein, se lasketaan lisäpisteiksi.

        Tulkitseminen on tärkeää. Sen tiesivät muinaiset kreikkalaiset jo 2600 vuotta sitten.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kirjoitusvirheestä huolimatta lienee itsestään selvää, mitä aloittaja tarkoitti. Jotta tehtävänannossa olisi mitään järkeä, siinä tarkoitetaan mitä tahansa pohjatason kanssa kohtisuoraa tasoa. Millään muulla tulkinnalla tuollaista kappaletta ei ole olemassakaan.

        Jos esimerkiksi matematiikan kokeessa jätät vastaamatta virheelliseen tehtävänantoon, siitä ei rangaista, mutta jos kuitenkin osaat tulkita tehtävän kuten sen pitäisi olla, ja ratkaiset sen oikein, se lasketaan lisäpisteiksi.

        Tarkoitit varmastikin oikeaa asiaa, mutta sanavalintasi on väärin. Oikea tulkinta on ”mikä tahansa z-akselin sisältävä taso”. Jos valitset jonkin muun pystysuoran tason, se tuottaa leikkaukseksi paraabelin (tai pisteen tai tyhjän joukon).

    • Anonyymi

      Mene osoitteeseen https://sagecell.sagemath.org/ ja kirjoita

      show(plot3d(lambda u,v: max(0, sqrt(12-3*u^2)-sqrt(3)*abs(v)), (-2,2), (-2,2), mesh=True))

      ja paina Evaluate, niin saat kappaleen kuvan jota voi käännellä.

    • Anonyymi

      Minä saan tilavuudeksi 32/sqrt(3) ≈ 18,4752.

      Entäpä ala? Minä sain

      28π / 3 24/sqrt(3)
      ≈ 43,1779.

      • Anonyymi

        Minä laskin tuon kappaleen pinta-lan seuraavasti. Merkkaan x-akselilla tasasivuisia kolmioita vastaan kohtisuoraa akselia, y-akselilla toista vaaka-akselia ja z-akselilla pystyakselia. Pohja on ympyrä, säde r=2, joten pohjan ala on
        pii*r^2 = 4*pii.
        Vaipan pinnan lasken tarkastelemalla tasasivuisia "kolmionsiivuja", joiden paksuus on dx. Niiden kahden kyljen yhteispituus on
        4*sqrt(r^2-x^2).
        Siivujen ulkopinta on viisto x-suuntaan nähden ja tuon viistouden kuvaa derivaatta, joksi tulee
        y'(x)= -x/sqrt(r^2-x^2).
        Siivujen ulkopinnan ala on nyt
        4*sqrt(r^2-x^2)*sqrt(1 y'(x)^2)*dx = 4*r*dx
        Tuo kun integroidaan -r -> r, saadaan
        8*r^2 = 32
        Koko alaksi saadaan siten
        32 4*pii = 44,6

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Minä laskin tuon kappaleen pinta-lan seuraavasti. Merkkaan x-akselilla tasasivuisia kolmioita vastaan kohtisuoraa akselia, y-akselilla toista vaaka-akselia ja z-akselilla pystyakselia. Pohja on ympyrä, säde r=2, joten pohjan ala on
        pii*r^2 = 4*pii.
        Vaipan pinnan lasken tarkastelemalla tasasivuisia "kolmionsiivuja", joiden paksuus on dx. Niiden kahden kyljen yhteispituus on
        4*sqrt(r^2-x^2).
        Siivujen ulkopinta on viisto x-suuntaan nähden ja tuon viistouden kuvaa derivaatta, joksi tulee
        y'(x)= -x/sqrt(r^2-x^2).
        Siivujen ulkopinnan ala on nyt
        4*sqrt(r^2-x^2)*sqrt(1 y'(x)^2)*dx = 4*r*dx
        Tuo kun integroidaan -r -> r, saadaan
        8*r^2 = 32
        Koko alaksi saadaan siten
        32 4*pii = 44,6

        Minä laskin parametrisoimalla pinnan graafin f(u,v) = sqrt(12-3u^2) - sqrt(3)|v| kuvaajana, (u,v) origokeskisestä 2-säteisestä ympyrästä. Symmetrian nojalla riittää laskea yksi neljäsosa, jossa rajoitetaan u ja v positiivisiksi.
        Osittaisderivaattojen ristitulon pituudeksi sain sqrt((16-u^2)/(4-u^2)). Kun tämä integroidaan u välillä [0, 2] ja v välillä [0, sqrt(4-u^2)], niin, koska integrandi ei riipu v:stä, niin v-integraali tuottaa vain kertoimen sqrt(4-u^2), joka kumoaa nimittäjän, joten integraaliksi jää

        int_0^2 sqrt(16-u^2) du.

        Tämän voi laskea geometrisesti, koska se on 4-säteisestä ympyrästä sektori (kulma π /2-π /3 = π /6) kolmio, jonka kanta 2 ja korkeus 2sqrt(3).
        Siis vastaus on (otetaan edellinen 4 kertaa ja lisätään pohjaympyrän ala)

        4π 4*(16π /12 2sqrt(3))
        = 28π /3 8sqrt(3)
        ≈ 43,1779.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Minä laskin parametrisoimalla pinnan graafin f(u,v) = sqrt(12-3u^2) - sqrt(3)|v| kuvaajana, (u,v) origokeskisestä 2-säteisestä ympyrästä. Symmetrian nojalla riittää laskea yksi neljäsosa, jossa rajoitetaan u ja v positiivisiksi.
        Osittaisderivaattojen ristitulon pituudeksi sain sqrt((16-u^2)/(4-u^2)). Kun tämä integroidaan u välillä [0, 2] ja v välillä [0, sqrt(4-u^2)], niin, koska integrandi ei riipu v:stä, niin v-integraali tuottaa vain kertoimen sqrt(4-u^2), joka kumoaa nimittäjän, joten integraaliksi jää

        int_0^2 sqrt(16-u^2) du.

        Tämän voi laskea geometrisesti, koska se on 4-säteisestä ympyrästä sektori (kulma π /2-π /3 = π /6) kolmio, jonka kanta 2 ja korkeus 2sqrt(3).
        Siis vastaus on (otetaan edellinen 4 kertaa ja lisätään pohjaympyrän ala)

        4π 4*(16π /12 2sqrt(3))
        = 28π /3 8sqrt(3)
        ≈ 43,1779.

        Minä puolestani laskin summaamalla tasasivuisten kolmiosiivujen "kylkipintoja". Osoittautui, etteivät niiden pinta-alat riipu kolmion koosta, kunhan dx ilmaisema siivun paksuus on sama, sillä pinnan jyrkkyys kasvaa kun kolmion sivunpituus pienenee. Joten syntyi hyvin yksinkertainen integraali.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Minä puolestani laskin summaamalla tasasivuisten kolmiosiivujen "kylkipintoja". Osoittautui, etteivät niiden pinta-alat riipu kolmion koosta, kunhan dx ilmaisema siivun paksuus on sama, sillä pinnan jyrkkyys kasvaa kun kolmion sivunpituus pienenee. Joten syntyi hyvin yksinkertainen integraali.

        Joo, 12*pii minäkin sain helposti

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Joo, 12*pii minäkin sain helposti

        Minä taas laskin viivaintegraalin pohjaympyrän kaarta pitkin funktiosta
        z=sqrt(3)*sqrt(4-x^2). Käytin sijoitusta x=2cost ja y=2sint.
        Koko alaksi tuli 16*sqrt(3) 4pi

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Minä taas laskin viivaintegraalin pohjaympyrän kaarta pitkin funktiosta
        z=sqrt(3)*sqrt(4-x^2). Käytin sijoitusta x=2cost ja y=2sint.
        Koko alaksi tuli 16*sqrt(3) 4pi

        Tuo sqrt(3)*sqrt(4-x^2) on kolmion korkeusjana. En oikein ymmärrä, miten siitä saadaan pinta-ala.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuo sqrt(3)*sqrt(4-x^2) on kolmion korkeusjana. En oikein ymmärrä, miten siitä saadaan pinta-ala.

        mielestäni z= sqrt(3)*sqrt(4-x^2) on kolmion korkeusjanojen muodostama käyrä z-x tasossa

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        mielestäni z= sqrt(3)*sqrt(4-x^2) on kolmion korkeusjanojen muodostama käyrä z-x tasossa

        Kolme eri laskelmaa pinta-alasta, kolme erilaista tulosta.

    • Anonyymi

      Kiitos kaikille auttaneille. Sain vastaukseksi ((32*√(3))/(3)) eli likiarvo 18,5. Mahtaako olla oikein?

    • Anonyymi

      Jos tuo joissakin kommenteissa annettu tulkinta on oikea niin eikös tässä ole kyseessä kartio, jonka pohjan säde R on 2 ?
      Kartion korkeus h = sqrt((2R)^2 - R^2) = R sqrt(3).
      Tilavuus V = 1/3 pii R^2 h = 1/3 pii *4*2 sqrt(3) = 14,51
      Pinta-ala ilman pohjaa on pii R *2 R = 2 pii *4 = 25,13
      Pojhjan pinta-ala on pii R^2 = 12,57

      • Anonyymi

        Ei ole kartio, kartiollahan pystysuorat tasoleikkaukset antavat ellipsi, kun kyseisessä kappaleessa saadaan kolmioita. Kyseessä on harjanteen näköinen muoto, ei siis ole ympyräsymmetrinen pystyakselin suhteen.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei ole kartio, kartiollahan pystysuorat tasoleikkaukset antavat ellipsi, kun kyseisessä kappaleessa saadaan kolmioita. Kyseessä on harjanteen näköinen muoto, ei siis ole ympyräsymmetrinen pystyakselin suhteen.

        Höpö höpö.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei ole kartio, kartiollahan pystysuorat tasoleikkaukset antavat ellipsi, kun kyseisessä kappaleessa saadaan kolmioita. Kyseessä on harjanteen näköinen muoto, ei siis ole ympyräsymmetrinen pystyakselin suhteen.

        Pystysuorat leikkaukset antavat parabeleja, vinot ellipsejä tai hyperbelejä.

    • Anonyymi

      Laitoin tuon kappaleen alan laskemisen Tiede-lehden mat&fys ongelmien palstalle, kun täällä siihen on esitetty kolme eri lopputulokseen päätyvää ratkaisua. Siellä on esitetty seuraava ratkaisu:
      Vaipan ala 2*∫2√(4-x^2)*√(1 (-x/√(4-x^2))^2)(x:-2—>2)=32
      Koko ala on32 4π
      Eli sama kuin mun ratkaisuni.

      • Anonyymi

        Kokeilen taas pitkästä aikaa tätä kuvanjako-sivellusta. Yritin laskea tuota pinta-alaa pinta-ala alkion avulla, ja kyllä sieltä tuo 32 vaipalle tulee. Sitä en tiedä onko tämä minun laskuni oikein... https://aijaa.com/1rcxnX
        aeija

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kokeilen taas pitkästä aikaa tätä kuvanjako-sivellusta. Yritin laskea tuota pinta-alaa pinta-ala alkion avulla, ja kyllä sieltä tuo 32 vaipalle tulee. Sitä en tiedä onko tämä minun laskuni oikein... https://aijaa.com/1rcxnX
        aeija

        Kun tuo (1/4) kappaleen kuva tuossa on, niin siinähän on yhteen kärkeen, joka on origossa, päättyvä kappale, ja sen tilavuus on 1/3* "vaipan ala" *korkeus.
        Eli: A= 3*V/h.
        V = tuolla yllä laskettu 8/sqrt3.
        h= kohtisuora suoralle z=-sqrt3y 2sqrt3, ja se saadaan kuvasta: sin60=h/2=>h=sqrt3.
        A=3*(8/sqrt3)/sqrt3=8

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Nainen, yrittäessäsi olla vahva olet heikoksi tullut

      Tiedätkö mitä todellinen vahvuus on? Selviätkö, kun valtakunnat kukistuvat? Miten suojaudut kun menetät kaiken? :/
      Ikävä
      209
      1628

    2. Miettimisen aihetta.

      Kannattaa yrittää vain niitä oman tasoisia miehiä. Eli tiputa ittes maan pinnalle. Tiedoksi naiselle mieheltä.
      Ikävä
      140
      1394

    3. Mitkä on 3 viimeistä sanaa

      sun ja kaivattusi viesteilyssä? Ensin sun, sitten kaivatun?
      Ikävä
      54
      1133

    4. Kai sä näät

      Ku sua katson et olen aika rakastunut. Rakkaus ei vain ole aina niin yksinkertaista
      Ikävä
      72
      1005

    5. Sun ja kaivattusi

      ikäero? Kumpi vanhempi, m vai n?
      Ikävä
      54
      1005

    6. Mikä on ollut

      Epämiellyttävin hetki sinun ja kaivattusi romanssissa?
      Ikävä
      106
      922

    7. Nainen miltä tuntuu olla ainoa nainen Suomessa, joka kelpaa ja on yheen sopiva minulle

      Sydämeni on kuin muuri, valtavat piikkimuurit, luottamusongelmat, ulkonäkövaatimukset, persoonavaatimukset ja älykkyysva
      Ikävä
      52
      903

    8. Just nyt mä

      En haluais sanoa sulle mitään. Voisi vaikka istua vierekkäin hiljaa. Ehkä nojaten toisiimme. Tai maata vierekkäin, ilman
      Ikävä
      53
      860

    9. Piristä mua ystävä

      Hyvä💫...
      Ikävä
      82
      830

    10. Kuinka hyvin tunnet mut?

      Kerro musta mies jotain.
      Ikävä
      31
      764
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt